Универсальный Online-справочник
Поиск
 А | Б | В | Г | Д | Е | Ж | З | И | Й | К | Л | М | Н | О | П | Р | С | Т | У | Ф | Х | Ц | Ч | Ш | Щ | Ъ | Ы | Ь | Э | Ю | Я |
Термины из этой статьи

Логика предикатов, раздел математической логики, изучающий логические законы, общие для любой области объектов исследования (содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах предикатами (т. е…(дальше)

Переменная, переменное, одно из основных понятий математики и логики. Начиная с работ П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона, Г. В. Лейбница и др. основоположников "высшей" математики под П. понимали…(дальше)

Квантор (от лат. quantum - сколько), логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке…(дальше)

Логика высказываний, раздел математической логики, посвященный изучению логических форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний с помощью связок, аналогичных союзам "и", "или"…(дальше)

Изоморфизм, одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы, кольца, поля и т. п., но оказавшееся…(дальше)

Логика классов, раздел логики, основным предметом рассмотрения в котором служат классы (множества) предметов, задаваемые характеризующими их свойствами, общими для всех входящих в данный класс…(дальше)

Алгебра логики, раздел математической. логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. А. л. возникла в…(дальше)

Логические операции

Логические операции, логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две основные группы: кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н. "количественные" ("кванторные") слова: "все", "любой", "некоторый", "существует", "единственный", "не более (менее) чем", количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является — в случае нефиктивного их применения — понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n — 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.

Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики — в логике высказываний. В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ù истолковывается как частица "не", конъюнкция & истолковывается как союз "и", дизъюнкция — как (неразделительное) "или", импликация É — как оборот "если..., то...", эквиваленция ~ — как оборот "тогда и только тогда, когда" и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два "истинностных значения": "истину" ("и") и "ложь" ("л"), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений — оно равно 2n. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например, "штрих Шеффера" ½ в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения некоторых "исходных" высказываний р и q, в остальных — значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).

Тождественная истина

Тождественная ложь

P

Отррицание p

q

Отрицание q

Конъюнкция

Антиконъюнкция (штрих Шеффера)

Дизъюнкция

Антидизъюнкция

Эквиваленция

Антиэквиваленция

Импликация

Антиимпликация

Обратная импликация

Обратная антиимпликация

p

q

и

л

p

ù p

q

ù q

p&q

P÷q

pÚq

p q

p~q

p q

pÉq

p q

pÌq

pËq

и

и

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

л

л

и

л

л

и

л

и

л

и

л

и

и

л

и

л

и

л

Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным "четырехбуквенным словам" из "и" и "л", записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и "вырожденные" случаи: первые две "связки" вообще не зависят ни от каких "аргументов" — это константы "и" и "л" (понятно, что таких "нульместных" связок имеется ровно ), далее идут "одноместных связок" (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16—2—4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например, ù и &, ù и , ù и É и даже одна-единственная связка ½. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов, для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.

Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15.

Ю. А. Гастев.